水浒传情节 起因，经过，高潮，结果- 技术问答网页
来自：本站 添加时间：2025-05-25 07:23
这个问题可以使用概率方法来解决。
假设我们将绳子的一端固定在地面上，然后将其随机地扔向地面。当绳子的半径r在[0,0.5]范围内时，围成的面积可以通过公式A = π * r^2计算得出；当半径r在(0.5,1]范围内时，围成的面积可以通过公式A = V - π * (1 - r)^2计算得出，其中V为圆的面积π * 1^2 = π。
其中，围成的面积都是随机的，我们可以将面积看成是随机变量。因此，我们只需要计算出当半径r在[0,0.5]范围内和(0.5,1]范围内时的面积的概率分布，并计算期望值即可。
当半径r在[0,0.5]范围内时，面积的概率分布为：
p1(r) = 2 * r / (π * 0.5^2) = 4 * r / π
当半径r在(0.5,1]范围内时，面积的概率分布为：
p2(r) = 2 * (r - 0.5) / (π * (1 - 0.5)^2) = 4 * (r - 0.5) / π
所以，面积的期望值为：
E(A) = ∫(0,0.5) (A * p1(r) * dr) + ∫(0.5,1] (A * p2(r) * dr)
= ∫(0,0.5) (A * 4 * r / π * dr) + ∫(0.5,1] (A * 4 * (r - 0.5) / π * dr)
= A / π * ∫(0,0.5) (4 * r dr) + A / π * ∫(0.5,1] (4 * (r - 0.5) dr)
= A / π * (2 * (∫(0,0.5) r dr + ∫(0.5,1] r dr) - (∫(0,0.5) 0.5 dr + ∫(0.5,1] 0.5 dr)))
= A / π * (2 * ((0.25 - 0) + (0.5 - 0.25)) - (0.5 * (0.5 - 0) + 0.5 * (1 - 0.5)))
= A / π * (2 * (0.25 + 0.25) - (0.5 * 0.5 + 0.5 * 0.5))
= A / π * (1 - 0.5)
= A / (2 * π)
由于绳子的周长为1米，即2 * π * r = 1，解得r = 1 / (2 * π)。将r的值代入到A = π * r^2公式中得到面积A = π * (1 / (2 * π))^2 = 1 / (4 * π)。
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